Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x^{\frac{1}{x}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (x)}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}}$

Paso 3.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Paso 3.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{0}$

Paso 3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 1$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 1$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7