Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $y x$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$ por $\frac{y x}{y x}$ .

$\frac{y x}{y x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{y x (x^{2} + 2 x y + y^{2})}{y x (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y x \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y (x) \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y x \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x \cdot x + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1} x + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1} x^{1} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1 + 1} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y x (- \frac{y}{x})}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y x \frac{- y}{x}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $x$ de $y x$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + x y \frac{- y}{x}}$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + x y \frac{- y}{x}}$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y (- y)}$

Paso 3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - (y^{1} y)}$

Paso 3.8

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - (y^{1} y^{1})}$

Paso 3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{1 + 1}}$

Paso 3.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{y (x^{2} x) + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (x^{2} x^{1}) + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y x^{2 + 1} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y x^{3} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y x^{3} + 2 y x (x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y x^{3} + 2 (y \cdot y) x \cdot x + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x \cdot x + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} (x \cdot x) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2} y x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 4.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2} y^{1} x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2 + 1} x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe $y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x$ en forma factorizada.

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Paso 4.6.1

Factoriza $y x$ de $y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $y x$ de $y x^{3}$ .

$\frac{y x (x^{2}) + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $y x$ de $2 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y x (x^{2}) + y x (2 y x) + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $y x$ de $y^{3} x$ .

$\frac{y x (x^{2}) + y x (2 y x) + y x (y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.1.4

Factoriza $y x$ de $y x (x^{2}) + y x (2 y x)$ .

$\frac{y x (x^{2} + 2 y x) + y x (y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.1.5

Factoriza $y x$ de $y x (x^{2} + 2 y x) + y x (y^{2})$ .

$\frac{y x (x^{2} + 2 y x + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.6.2.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 y x = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 4.6.2.2

Reescribe el polinomio.

$\frac{y x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 4.6.2.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{y x {(x + y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(x + y)}^{2}$ y $x + y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + y$ de $y x {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{(x + y) (y x (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + y) (y x (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y x (x + y)}{x - y}$