Álgebra Ejemplos

$\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$

Paso 2

Reescribe $\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{1}{3}} = \frac{x - 5}{1 - x}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$

Paso 4

Simplifica $10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Multiplica $10^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

Paso 4.2.2

Reordena los factores en $10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$ .

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} - x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$

Paso 5

Suma $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$x - 5 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}}$

Paso 6

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ .

$x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}})$ .

$x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Paso 8

Divide cada término en $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ por $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ por $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}} + 5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$ sea verdadera.

$No hay solución$