Álgebra Ejemplos

$x^{2} y - 4 x^{2} - 5 x - 9 y - 6 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $4 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y - 5 x - 9 y - 6 = 4 x^{2}$

Paso 1.2

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y - 9 y - 6 = 4 x^{2} + 5 x$

Paso 1.3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 2

Factoriza $y$ de $x^{2} y - 9 y$ .

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Paso 2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$y x^{2} - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 2.2

Factoriza $y$ de $- 9 y$ .

$y x^{2} + y \cdot - 9 = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 2.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot - 9$ .

$y (x^{2} - 9) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y (x^{2} - 3^{2}) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Paso 5

Divide cada término en $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ por $(x + 3) (x - 3)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ por $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 6

Establece el denominador en $\frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 7.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 7.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$

Paso 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Paso 9

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Paso 10

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq 3, - 3}$

Rango: $(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty), {y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Paso 11