Álgebra Ejemplos

${(\frac{5}{9})}^{5 x - 9} = {(\frac{9}{5})}^{9 x - 5}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{5}{9})}^{5 x - 9}) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{5}{9})}^{5 x - 9})$ ; para ello, mueve $5 x - 9$ fuera del logaritmo.

$(5 x - 9) \ln (\frac{5}{9}) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{5}{9})$ como $\ln (5) - \ln (9)$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - \ln (9)) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 4

Reescribe $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - \ln (3^{2})) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 5

Expande $\ln (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(5 x - 9) (\ln (5) - (2 \ln (3))) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Paso 7

Expande $\ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$ ; para ello, mueve $9 x - 5$ fuera del logaritmo.

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) \ln (\frac{9}{5})$

Paso 8

Reescribe $\ln (\frac{9}{5})$ como $\ln (9) - \ln (5)$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Simplifica $(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3))$ .

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Paso 9.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.3

Expande $(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x (\ln (5) - 2 \ln (3)) - 9 (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (5) + 5 x (- 2 \ln (3)) - 9 (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (5) + 5 x (- 2 \ln (3)) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \ln (5) + 5 \cdot - 2 x \ln (3) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.2

Simplifica $(9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$ .

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Paso 9.2.1

Expande $(9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x (\ln (9) - \ln (5)) - 5 (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 x (- \ln (5)) - 5 (\ln (9) - \ln (5))$

Paso 9.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 x (- \ln (5)) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Paso 9.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 \cdot - 1 x \ln (5) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Paso 9.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $9 x \ln (9)$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) = - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Paso 9.3.2

Suma $9 x \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 9 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Paso 9.3.3

Suma $5 x \ln (5)$ y $9 x \ln (5)$ .

$- 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Paso 9.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.4.1

Suma $9 \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 10 x \ln (3) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5) + 9 \ln (5)$

Paso 9.4.2

Resta $18 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5) + 9 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.4.3

Suma $5 \ln (5)$ y $9 \ln (5)$ .

$- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.5

Factoriza $x$ de $- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5)$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $x$ de $- 10 x \ln (3)$ .

$x (- 10 \ln (3)) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.5.2

Factoriza $x$ de $- 9 x \ln (9)$ .

$x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9)) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.5.3

Factoriza $x$ de $14 x \ln (5)$ .

$x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.5.4

Factoriza $x$ de $x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9))$ .

$x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.5.5

Factoriza $x$ de $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5))$ .

$x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Paso 9.6

Divide cada término en $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$ por $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 9.6.1

Divide cada término en $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$ por $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ .

$\frac{x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} = \frac{- 5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.6.2.1

Cancela el factor común de $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ .

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Paso 9.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 9.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} - \frac{18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 9.6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 \ln (9) + 14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} - \frac{18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 \ln (9)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9)) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $14 \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9)) - (- 14 \ln (5)) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 18 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - (18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - (18 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.8

Reescribe $- (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))$ como $- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.9

Factoriza $- 1$ de $- 10 \ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3)) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.10

Factoriza $- 1$ de $- 9 \ln (9)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3)) - (9 \ln (9)) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.11

Factoriza $- 1$ de $- (10 \ln (3)) - (9 \ln (9))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) + 14 \ln (5)}$

Paso 9.6.3.2.12

Factoriza $- 1$ de $14 \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))}$

Paso 9.6.3.2.13

Factoriza $- 1$ de $- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Paso 9.6.3.2.14

Reescribe $- (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))$ como $- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Paso 9.6.3.2.15

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Paso 9.6.3.2.16

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3)}{10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3)}{10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 1$