Álgebra Ejemplos

$12 x^{\frac{7}{2}} - 108 x^{3} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $x^{3}$ que esté presente en cada término.

$12 {(x^{3})}^{\frac{7}{6}} - 108 x^{3}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $x^{3}$ .

$12 {(u)}^{\frac{7}{6}} - 108 u = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $12 u$ de $12 u^{\frac{7}{6}} - 108 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $12 u$ de $12 u^{\frac{7}{6}}$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) - 108 u = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $12 u$ de $- 108 u$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $12 u$ de $12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9)$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Paso 3.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.4

Establece $u^{\frac{1}{6}} - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $u^{\frac{1}{6}} - 9$ igual a $0$ .

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{1}{6}} = 9$

Paso 3.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $6$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{1}{6}})}^{6} = 9^{6}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 9^{6}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$u = 9^{6}$

Paso 3.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $6$ .

$u = 531441$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$ verdadera.

$u = 0, 531441$

Paso 4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{3} = 0, 531441$

Paso 5

Resuelve para $x^{3} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Resuelve para $x^{3} = 531441$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Resta $531441$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 531441 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Reescribe $531441$ como $81^{3}$ .

$x^{3} - 81^{3} = 0$

Paso 6.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 81$ .

$(x - 81) (x^{2} + x \cdot 81 + 81^{2}) = 0$

Paso 6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Mueve $81$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 81^{2}) = 0$

Paso 6.2.3.2

Eleva $81$ a la potencia de $2$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 81 = 0$

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Paso 6.4

Establece $x - 81$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Establece $x - 81$ igual a $0$ .

$x - 81 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 81$

Paso 6.5

Establece $x^{2} + 81 x + 6561$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Establece $x^{2} + 81 x + 6561$ igual a $0$ .

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x^{2} + 81 x + 6561 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 81$ y $c = 6561$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6561)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1.1

Eleva $81$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 1 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6561$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 26244}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.3

Resta $26244$ de $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 19683}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.4

Reescribe $- 19683$ como $- 1 (19683)$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19683}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (19683)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.7

Reescribe $19683$ como $81^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1.7.1

Factoriza $6561$ de $19683$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{6561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.7.2

Reescribe $6561$ como $81^{2}$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{81^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot (81 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.1.9

Mueve $81$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$ verdadera.

$x = 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$