Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x^{2} - 7 x - 30} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{16 x - x^{3}} \cdot \frac{x^{2} - x - 90}{x + 9}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - x - 90$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 90$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 10, 9$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{x^{2} - 7 x - 30} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{16 x - x^{3}} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 7 x - 30$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 10, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{16 x - x^{3}} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{16 x - x^{3}} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $16 x - x^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $16 x$ .

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x \cdot 16 - x^{3}} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x \cdot 16 + x (- x^{2})} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 16 + x (- x^{2})$ .

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x (16 - x^{2})} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x (4^{2} - x^{2})} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = x$ .

$\frac{2}{(x - 10) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x + 3$ de $(x - 10) (x + 3)$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 10)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x + 3$ de $(x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x - 10} \cdot \frac{x - 4}{x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{2}{x - 10}$ por $\frac{x - 4}{x (4 + x) (4 - x)}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{(x - 10) (x (4 + x) (4 - x))} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 6

Elimina los paréntesis.

$\frac{2 (x - 4)}{(x - 10) x (4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x - 10$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $x - 10$ de $(x - 10) x (4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{(x - 10) ((x (4 + x)) (4 - x))} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 4)}{(x - 10) ((x (4 + x)) (4 - x))} \cdot \frac{(x - 10) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 4)}{(x (4 + x)) (4 - x)} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{2 (x - 4)}{(x (4 + x)) (4 - x)}$ por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 (x - 4) (x + 9)}{(x (4 + x)) (4 - x) (x + 9)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x + 9$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 4) (x + 9)}{(x (4 + x)) (4 - x) (x + 9)}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 4)}{(x (4 + x)) (4 - x)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x - 4$ y $4 - x$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - 4)}{(x (4 + x)) (4 - x)}$

Paso 7.4.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - 1 (4))}{(x (4 + x)) (4 - x)}$

Paso 7.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x + 4))}{(x (4 + x)) (4 - x)}$

Paso 7.4.4

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (- x + 4))}{x (4 + x) (- x + 4)}$

Paso 7.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- x + 4))}{x (4 + x) (- x + 4)}$

Paso 7.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x (4 + x)}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{x (4 + x)}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x (4 + x)}$