Álgebra Ejemplos

$\tan (x) > - 1$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x > \arctan (- 1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Paso 3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.3

Combina fracciones.

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Paso 6.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Obtén el dominio de $\tan (x) + 1$ .

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Paso 9.1

Establece el argumento en $\tan (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\tan (2) > - 1$

Paso 11.1.3

$- 2.18503986$ del lado izquierdo no es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\tan (4) > - 1$

Paso 11.2.3

$1.15782128$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\tan (5) > - 1$

Paso 11.3.3

$- 3.380515$ del lado izquierdo no es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falso

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falso

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{3 π}{4} + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13