Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Paso 1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Paso 2

Reescribe $8 x^{6}$ como ${(2 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}} + \frac{y^{3}}{216}$

Paso 3

Reescribe $\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}}$ como ${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{216}$

Paso 4

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{6^{3}}$

Paso 5

Reescribe $\frac{y^{3}}{6^{3}}$ como ${(\frac{y}{6})}^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + {(\frac{y}{6})}^{3}$

Paso 6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = \frac{1}{2 x^{2}}$ y $b = \frac{y}{6}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) ({(\frac{1}{2 x^{2}})}^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{{(2 x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.1.2

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{2 \cdot 2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.4

Multiplica $- \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6}$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{y}{6}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{6 (2 x^{2})} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Paso 7.5

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{6}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}})$

Paso 7.6

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{36})$

Paso 7.7

Factoriza.

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Paso 7.7.1

Factoriza $\frac{1}{36}$ de cada término.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2}))$

Paso 7.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) \frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2})$