Álgebra Ejemplos

$\frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = a + b \sqrt{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Paso 2

Simplifica $\frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{9 (2)}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - (3 \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$

Paso 2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5

Multiplica $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 2.5.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Paso 2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Paso 2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 2.6.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 2.6.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Cancela el factor común.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{1}}{2}$

Paso 2.6.1.5

Evalúa el exponente.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 6}{2}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $10 \sqrt{2} - 6$ y $2$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{2}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2}) - 6}{2}$

Paso 2.7.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2}) + 2 \cdot - 3}{2}$

Paso 2.7.3

Factoriza $2$ de $2 (5 \sqrt{2}) + 2 (- 3)$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2}$

Paso 2.7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2 (1)}$

Paso 2.7.4.2

Cancela el factor común.

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.4.3

Reescribe la expresión.

$a + b \sqrt{2} = \frac{5 \sqrt{2} - 3}{1}$

Paso 2.7.4.4

Divide $5 \sqrt{2} - 3$ por $1$ .

$a + b \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} - 3$

Paso 3

Resta $b \sqrt{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 5 \sqrt{2} - 3 - b \sqrt{2}$