Álgebra Ejemplos

$x^{4} + x^{2} + 1 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 8.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Reescribe $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 8.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 8.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 8.2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.5

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 8.2.6

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.2.6.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.2.6.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.2.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 8.2.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 8.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - i \sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 9

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 10.3

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reescribe $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 10.3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 10.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 10.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 10.3.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Paso 10.3.5

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 10.3.6

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 10.3.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 10.3.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 10.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 10.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 10.3.6.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.3.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 10.3.6.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 10.3.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 10.3.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 10.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + i \sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 10.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 10.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 10.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 11

La solución a $x^{4} + x^{2} + 1 = 0$ es $x = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$