Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \div \frac{x^{2} - 7 x + 6}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 11 x + 30$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $30$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 6, - 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (x - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 5$ y $5 - x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 1 (5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.1.4

Reordena los términos.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.1.6

Divide $(x - 6) \cdot (- 1)$ por $1$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot ((x - 6) \cdot (- 1)) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{4}{- x - 1} (x - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- \frac{4}{- x - 1} x - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 3.4

Combina $x$ y $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 4

Multiplica $- \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6$ .

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Paso 4.1

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + 6 \frac{4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 4.2

Combina $6$ y $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{6 \cdot 4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 4.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} - 7 x + 6}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} - 7 x + 6$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 6, - 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x \cdot 4 + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.3

Factoriza $4$ de $- 4 x + 24$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $1 - x$ y $x - 1$ .

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Paso 7.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.4

Reordena los términos.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Paso 7.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x - 6}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x - 6}$

Paso 7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} (- \frac{1 + x}{x - 6})$

Paso 7.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{1 + x}{x - 6}$

Paso 7.6

Multiplica $\frac{1 + x}{x - 6}$ por $\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1}$ .

$- \frac{(1 + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $1 + x$ y $- x - 1$ .

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Paso 7.7.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{(- 1 (- 1) + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$- \frac{(- 1 (- 1) - 1 (- x)) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - 1 (- x)$ .

$- \frac{- 1 (- 1 - x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7.4

Reordena los términos.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7.5

Cancela el factor común.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Paso 7.7.6

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 1 (4 (- x + 6))}{x - 6}$

Paso 7.8

Cancela el factor común de $- x + 6$ y $x - 6$ .

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Paso 7.8.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x) + 6))}{x - 6}$

Paso 7.8.2

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x) - 1 (- 6)))}{x - 6}$

Paso 7.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x - 6)))}{x - 6}$

Paso 7.8.4

Reescribe $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- 1 (x - 6)))}{x - 6}$

Paso 7.8.5

Cancela el factor común.

$- \frac{- 1 \cdot 4 (- 1 (x - 6))}{x - 6}$

Paso 7.8.6

Divide $- 1 \cdot 4 \cdot (- 1)$ por $1$ .

$- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$

Paso 8

Multiplica $- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$ .

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- (- 4 \cdot - 1)$

Paso 8.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 1 \cdot 4$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4$