Álgebra Ejemplos

$(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$

Paso 1

Divide cada término en $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ .

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Paso 1.2.1.2

Divide $x^{2} + b x - 2$ por $1$ .

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2}$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$ en dos fracciones.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $6 x^{2}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $7 x$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Paso 3

Divide cada término en $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ por $x$ .

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Paso 3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7) - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$b = \frac{\frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$b = \frac{\frac{x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$b = \frac{\frac{x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x) + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.1.4

Factoriza $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.3.2.1.4.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 3.3.2.1.4.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 3.3.2.1.4.3

Sustituye $- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.3.2.1.4.3.1

Sustituye $- 3$ en el polinomio.

${(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 27 + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 + 6 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.4

Multiplica $6$ por $9$ .

$- 27 + 54 + 7 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.5

Suma $- 27$ y $54$ .

$27 + 7 \cdot - 3 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.6

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$27 - 21 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.7

Resta $21$ de $27$ .

$6 - 6$

Paso 3.3.2.1.4.3.8

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 3.3.2.1.4.4

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Paso 3.3.2.1.4.5

Divide $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ .

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Paso 3.3.2.1.4.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Paso 3.3.2.1.4.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Paso 3.3.2.1.4.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 3.3.2.1.4.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 3.3.2.1.4.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$

Paso 3.3.2.1.4.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

Paso 3.3.2.1.4.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

Paso 3.3.2.1.4.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 3 x - 2$

Paso 3.3.2.1.4.6

Escribe $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ como un conjunto de factores.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $x^{2} + 3 x - 2$ por $1$ .

$b = \frac{x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2}{x}$

Paso 3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 0 + 2}{x}$

Paso 3.3.3.1.2

Suma $3 x - 2$ y $0$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 2}{x}$

Paso 3.3.3.1.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$b = \frac{3 x + 0}{x}$

Paso 3.3.3.1.4

Suma $3 x$ y $0$ .

$b = \frac{3 x}{x}$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$b = \frac{3 x}{x}$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$b = 3$