Álgebra Ejemplos

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Paso 1

Simplifica las expresiones en la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica el lado izquierdo.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Paso 1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \ln (a + 3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Reescribe $\ln (16)$ como $\ln (2^{4})$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Paso 3.1.1.2

Expande $\ln (2^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Paso 3.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Paso 3.1.1.3.2

Divide $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Paso 3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Paso 4

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Paso 5

Resuelve $a$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 a$ de ambos lados de la ecuación.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Paso 5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1

Reescribe ${(a + 3)}^{2}$ como $(a + 3) (a + 3)$ .

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.2

Expande $(a + 3) (a + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Paso 5.1.2.3.2

Suma $3 a$ y $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Paso 5.1.3

Resta $2 a$ de $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Paso 5.2

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Paso 5.3

Resta $14$ de $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Paso 5.4

Factoriza $a^{2} + 4 a - 5$ con el método AC.

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Paso 5.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 5.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Paso 5.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Paso 5.6

Establece $a - 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 5.6.1

Establece $a - 1$ igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 1$

Paso 5.7

Establece $a + 5$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 5.7.1

Establece $a + 5$ igual a $0$ .

$a + 5 = 0$

Paso 5.7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 5$

Paso 5.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(a - 1) (a + 5) = 0$ verdadera.

$a = 1, - 5$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ sea verdadera.

$a = 1$