Álgebra Ejemplos

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1

Simplifica $(x - 4) (3 x + 1)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.3

Expande $(x - 4) (3 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 1.4.2

Resta $12 x$ de $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Paso 2

Simplifica $(2 x - 6) (x - 2) + 4$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Expande $(2 x - 6) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x (x - 2) - 6 (x - 2) + 4$

Paso 2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 (x - 2) + 4$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Paso 2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Paso 2.1.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + 4$

Paso 2.1.2.2

Resta $6 x$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 12 + 4$

Paso 2.2

Suma $12$ y $4$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 16$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} < - 10 x + 16$

Paso 3.2

Suma $10 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} + 10 x < 16$

Paso 3.3

Resta $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 4 + 10 x < 16$

Paso 3.4

Suma $- 11 x$ y $10 x$ .

$x^{2} - x - 4 < 16$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - x - 4 = 16$

Paso 5

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Paso 6

Resta $16$ de $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Paso 7

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 9

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 9.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 10

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 10.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 4$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$((- 6) - 4) (3 (- 6) + 1) < (2 (- 6) - 6) ((- 6) - 2) + 4$

Paso 13.1.3

$170$ del lado izquierdo no es menor que $148$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) - 4) (3 (0) + 1) < (2 (0) - 6) ((0) - 2) + 4$

Paso 13.2.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$((8) - 4) (3 (8) + 1) < (2 (8) - 6) ((8) - 2) + 4$

Paso 13.3.3

$100$ del lado izquierdo no es menor que $64$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < 5$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 4 < x < 5$

Notación de intervalo:

$(- 4, 5)$

Paso 16