Álgebra Ejemplos

$\sqrt{32} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 1

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sqrt{16 (2)} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 3.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$2 (2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$2 (2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 5

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (2 \sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (2 \sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 10

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) i$

Paso 11

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) i$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} i$

Paso 13

Suma $1$ y $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14

Simplifica cada término.

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Paso 14.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 14.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.1.5

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 14.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 14.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i$

Paso 14.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i$

Paso 14.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i$

Paso 14.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.4.1

Cancela el factor común.

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i$

Paso 14.3.4.2

Reescribe la expresión.

$4 + 2 \cdot 2^{1} i$

Paso 14.3.5

Evalúa el exponente.

$4 + 2 \cdot 2 i$

Paso 14.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 4 i$