Álgebra Ejemplos

${(a + b i)}^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(a + b i)}^{2}$ como $(a + b i) (a + b i)$ .

$(a + b i) (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.2

Expande $(a + b i) (a + b i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (a + b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a (b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} + i a b + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.3.1

Mueve $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b \cdot b i i - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i i - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $b^{2} i i$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}) - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{1 + 1} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} \cdot - 1 - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b^{2}$ .

$a^{2} + i a b + b i a - 1 \cdot b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.1.7

Reescribe $- 1 b^{2}$ como $- b^{2}$ .

$a^{2} + i a b + b i a - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.2

Reordena $b$ y $a$ .

$a^{2} + a b i + a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.3.3

Suma $a b i$ y $a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Paso 1.4

Reescribe ${(a - b i)}^{2}$ como $(a - b i) (a - b i)$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - ((a - b i) (a - b i))$

Paso 1.5

Expande $(a - b i) (a - b i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a (a - b i) - b i (a - b i))$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i (a - b i))$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Paso 1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Paso 1.6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b i (- b i))$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.3.1

Mueve $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - (b \cdot b) i (- 1 i))$

Paso 1.6.1.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- 1 i))$

Paso 1.6.1.4

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- i))$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $- b^{2} i (- i)$ .

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Paso 1.6.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + 1 b^{2} i i)$

Paso 1.6.1.5.2

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i i)$

Paso 1.6.1.5.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i))$

Paso 1.6.1.5.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}))$

Paso 1.6.1.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{1 + 1})$

Paso 1.6.1.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{2})$

Paso 1.6.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} \cdot - 1)$

Paso 1.6.1.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b^{2}$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - 1 \cdot b^{2})$

Paso 1.6.1.8

Reescribe $- 1 b^{2}$ como $- b^{2}$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2})$

Paso 1.6.2

Mueve $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - a b i - 1 a b i - b^{2})$

Paso 1.6.3

Resta $a b i$ de $- a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - 2 a b i - b^{2})$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} - (- 2 a b i) - - b^{2}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) - - b^{2}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- - b^{2}$ .

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + 1 b^{2}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + b^{2}$

Paso 1.9

Elimina los paréntesis.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Paso 2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1

Combina los términos opuestos en $a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$2 a b i - b^{2} + 0 + 2 a b i + b^{2}$

Paso 2.1.2

Suma $2 a b i - b^{2}$ y $0$ .

$2 a b i - b^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Paso 2.1.3

Suma $- b^{2}$ y $b^{2}$ .

$2 a b i + 2 a b i + 0$

Paso 2.1.4

Suma $2 a b i + 2 a b i$ y $0$ .

$2 a b i + 2 a b i$

Paso 2.2

Suma $2 a b i$ y $2 a b i$ .

$4 a b i$