Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x + 1) (x + 5) {(x + 2)}^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ por $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x (x + 2) (x + 5) ((x + 1) {(x + 2)}^{2})}$

Paso 3.3

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x ({(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{1}) (x + 5) (x + 1)}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{2 + 1} (x + 5) (x + 1)}$

Paso 3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)}$

Paso 3.6

Reordena los factores de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Expande $(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.2.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.3

Suma $5 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.4

Suma $15 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1 \cdot 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.7

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) ((x + 2) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.8

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.9.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.9.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.9.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.10

Expande $(- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x \cdot x^{2} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.11.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x^{1}) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{2 + 1} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.6

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.11.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.12

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 4 x - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.13

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.14

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 + 0 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.15

Suma $8 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.16

Resta $5 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 10 - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.17

Resta $8 x$ de $17 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 10 - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.18

Resta $4$ de $10$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19

Reescribe $3 x^{2} + 9 x + 6$ en forma factorizada.

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Paso 5.19.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 9 x + 6$ .

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Paso 5.19.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.1.2

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (3 x) + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.1.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.2

Factoriza.

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Paso 5.19.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 5.19.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 5.19.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 ((x + 1) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.19.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.20

Reduce la expresión $\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.20.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Paso 5.20.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Paso 6

Reduce la expresión $\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x + 2$ de $3 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Paso 6.2

Factoriza $x + 2$ de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$