Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1})$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sqrt{y + 1}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{y + 1}$ .

$\frac{1}{3} (3 (\sqrt{y + 1})) = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{y + 1} = \frac{4}{3} x$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{4 x}{3}$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{1} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y + 1 = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.5.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x}{3}$ .

$y + 1 = \frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$y + 1 = \frac{4^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{9}$

Paso 3.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 5.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.6

Combina exponentes.

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Paso 5.2.3.1.6.1

Combina $16$ y $\frac{9}{16}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{16 \cdot 9}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.6.2

Multiplica $16$ por $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{144}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.1.7

Divide $144$ por $16$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{16 x^{2}}{9} - 1) + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} + 0}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{16 x^{2}}{9}$ y $0$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9}}$

Paso 5.3.4

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{9}}$

Paso 5.3.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.6

Reescribe $\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{{(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.9.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Paso 5.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Paso 5.3.9.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$