Álgebra Ejemplos

$\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + a, x - b, x + c$

Paso 1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5

El factor para $x + a$ es $x + a$ en sí mismo.

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.6

El factor para $x - b$ es $x - b$ en sí mismo.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El factor para $x + c$ es $x + c$ en sí mismo.

$(x + c) = x + c$

$(x + c)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El MCM de $x + a, x - b, x + c$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x + a) (x - b) (x + c)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ por $(x + a) (x - b) (x + c)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ por $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) (x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $x + a$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $x + a$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$a ((x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.2

Expande $(x - b) (x + c)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x (x + c) - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$a (x^{2} + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a (x c) + a (- b x) + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c - a b x + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.6

Cancela el factor común de $x - b$ .

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Paso 2.2.1.6.1

Factoriza $x - b$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b ((x + a) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.7

Expande $(x + a) (x + c)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x (x + c) + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x^{2} + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b (x c) + b (a x) + b (a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.1.10

Elimina los paréntesis.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2

Combina los términos opuestos en $a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c$ .

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Paso 2.2.2.1

Reordena los factores en los términos $- a b x$ y $b a x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + a b x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2.2

Suma $- a b x$ y $a b x$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + 0 + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2.3

Suma $a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c$ y $0$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2.4

Reordena los factores en los términos $- a b c$ y $b a c$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + a b c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2.5

Suma $- a b c$ y $a b c$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c + 0 = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.2.2.6

Suma $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c$ y $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $x + c$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $x + c$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) ((x + a) (x - b))$

Paso 2.3.2

Expande $(x + a) (x - b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x (x - b) + a (x - b))$

Paso 2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a (x - b))$

Paso 2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a x + a (- b))$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} + x (- b) + a x + a (- b))$

Paso 2.3.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x + a (- b))$

Paso 2.3.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$

Paso 2.3.4

Expande $(a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$

Paso 2.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.5.1

Combina los términos opuestos en $a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Reordena los factores en los términos $a (- x b)$ y $b (a x)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} - a b x + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + a b x + b (- a b)$

Paso 2.3.5.1.2

Suma $- a b x$ y $a b x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + 0 + b (- a b)$

Paso 2.3.5.1.3

Suma $a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b)$ y $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1.1

Mueve $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a \cdot a x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a (a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.2.3.1

Mueve $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - (a \cdot a) b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b (x b) + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.5

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.2.5.1

Mueve $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - (b \cdot b) x + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.5.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x + b (- a b)$

Paso 2.3.5.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b (a b)$

Paso 2.3.5.2.7

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.2.7.1

Mueve $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - (b \cdot b) a$

Paso 2.3.5.2.7.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $a x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} = a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Paso 3.1.2

Resta $a^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x = - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Paso 3.1.3

Resta $b x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} = - a^{2} b - b^{2} x - b^{2} a$

Paso 3.1.4

Suma $b^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.1.5

Combina los términos opuestos en $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x$ .

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Paso 3.1.5.1

Resta $a x^{2}$ de $a x^{2}$ .

$a x c + b x^{2} + b x c + 0 - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.1.5.2

Suma $a x c + b x^{2} + b x c$ y $0$ .

$a x c + b x^{2} + b x c - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.1.5.3

Resta $b x^{2}$ de $b x^{2}$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + 0 + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.1.5.4

Suma $a x c + b x c - a^{2} x$ y $0$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $a x c$ .

$x (a c) + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $b x c$ .

$x (a c) + x (b c) - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.3

Factoriza $x$ de $- a^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.4

Factoriza $x$ de $b^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.5

Factoriza $x$ de $x (a c) + x (b c)$ .

$x (a c + b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.6

Factoriza $x$ de $x (a c + b c) + x (- a^{2})$ .

$x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.2.7

Factoriza $x$ de $x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2}$ .

$x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$

Paso 3.3

Divide cada término en $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ por $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ por $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- a^{2} b - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $a b$ de $- a^{2} b - b^{2} a$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $a b$ de $- a^{2} b$ .

$x = \frac{a b (- a) - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2

Factoriza $a b$ de $- b^{2} a$ .

$x = \frac{a b (- a) + a b (- b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.2.3

Factoriza $a b$ de $a b (- a) + a b (- b)$ .

$x = \frac{a b (- a - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$x = \frac{a b (- (a) - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- b$ .

$x = \frac{a b (- (a) - (b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (a) - (b)$ .

$x = \frac{a b (- (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.6.1

Reescribe $- (a + b)$ como $- 1 (a + b)$ .

$x = \frac{a b (- 1 (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Paso 3.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{(a b) (a + b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$