Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 2}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x - 2}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 2) (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.2.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 4.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - x}$

Paso 5.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - (x)}$

Paso 5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2 + x)}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Paso 6

Para escribir $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Paso 7

Para escribir $- \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 8

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Paso 8.3

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Paso 8.4

Reordena los factores de $- 1 (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot - 1 - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.6

Expande $(- x - 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x (x + 2) - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.7.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.7.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.7.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.8

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 5 - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.9

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 0 - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.10

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 10.11

Resta $4$ de $- 5$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 9}{- (x + 2) (x - 2)}$

Paso 11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{- (2 x^{2}) - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.3

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$- \frac{- (2 x^{2}) - 1 (9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (9)$ .

$- \frac{- (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.5

Simplifica la expresión.

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Paso 11.5.1

Reescribe $- (2 x^{2} + 9)$ como $- 1 (2 x^{2} + 9)$ .

$- \frac{- 1 (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 11.5.4

Multiplica $\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$