Álgebra Ejemplos

$\frac{- 2 d^{2} + d + 15}{9 - d^{2}} \div \frac{4 d + 1}{2 d^{2} + 11 d + 15}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{- 2 d^{2} + d + 15}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{- 2 d^{2} + 1 d + 15}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2.1.2

Reescribe $1$ como $- 5$ más $6$

$\frac{- 2 d^{2} + (- 5 + 6) d + 15}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 d^{2} - 5 d + 6 d + 15}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 2 d^{2} - 5 d) + 6 d + 15}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d (- 2 d - 5) - 3 (- 2 d - 5)}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 d - 5$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (d - 3)}{9 - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (d - 3)}{3^{2} - d^{2}} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = d$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (d - 3)}{(3 + d) (3 - d)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $d - 3$ y $3 - d$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 1$ de $d$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (- 1 (- d) - 3)}{(3 + d) (3 - d)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (- 1 (- d) - 1 (3))}{(3 + d) (3 - d)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- d) - 1 (3)$ .

$\frac{(- 2 d - 5) (- 1 (- d + 3))}{(3 + d) (3 - d)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$\frac{(- 2 d - 5) (- 1 (- d + 3))}{(3 + d) (- d + 3)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{(- 2 d - 5) (- 1 (- d + 3))}{(3 + d) (- d + 3)} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 2 d - 5) \cdot (- 1)}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $- 2 d - 5$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 2 d - 5)}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $11$ de $11 d$ .

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + 11 (d) + 15}{4 d + 1}$

Paso 5.1.2

Reescribe $11$ como $5$ más $6$

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + (5 + 6) d + 15}{4 d + 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{2 d^{2} + 5 d + 6 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{(2 d^{2} + 5 d) + 6 d + 15}{4 d + 1}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{d (2 d + 5) + 3 (2 d + 5)}{4 d + 1}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 d + 5$ .

$- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{(2 d + 5) (d + 3)}{4 d + 1}$

Paso 6

Multiplica $- \frac{- 2 d - 5}{3 + d} \cdot \frac{(2 d + 5) (d + 3)}{4 d + 1}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{(2 d + 5) (d + 3)}{4 d + 1}$ por $\frac{- 2 d - 5}{3 + d}$ .

$- \frac{(2 d + 5) (d + 3) (- 2 d - 5)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.2

Factoriza $- 1$ de $2 d$ .

$- \frac{(- (- 2 d) + 5) (d + 3) (- 2 d - 5)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{(- (- 2 d) - 1 (- 5)) (d + 3) (- 2 d - 5)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.4

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 d) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (- 2 d - 5) (d + 3) (- 2 d - 5)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.5

Reescribe $- (- 2 d - 5)$ como $- 1 (- 2 d - 5)$ .

$- \frac{- 1 (- 2 d - 5) (d + 3) (- 2 d - 5)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.6

Eleva $- 2 d - 5$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 1 ({(- 2 d - 5)}^{1} (- 2 d - 5)) (d + 3)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.7

Eleva $- 2 d - 5$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 1 ({(- 2 d - 5)}^{1} {(- 2 d - 5)}^{1}) (d + 3)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- 1 {(- 2 d - 5)}^{1 + 1} (d + 3)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 6.9

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{- 1 {(- 2 d - 5)}^{2} (d + 3)}{(4 d + 1) (3 + d)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $d + 3$ y $3 + d$ .

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Paso 7.1

Reordena los términos.

$- \frac{- 1 {(- 2 d - 5)}^{2} (d + 3)}{(4 d + 1) (d + 3)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$- \frac{- 1 {(- 2 d - 5)}^{2} (d + 3)}{(4 d + 1) (d + 3)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 1 {(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{{(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$

Paso 9

Multiplica $- - \frac{{(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$ .

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{{(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{{(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$ por $1$ .

$\frac{{(- 2 d - 5)}^{2}}{4 d + 1}$