Álgebra Ejemplos

$\frac{\sec (θ) \sin (θ)}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \sin^{2} (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sec (θ) \sin (θ)}{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (θ)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (θ)} \sin (θ)}{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Paso 2.2

Escribe $\tan (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (θ)} \sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)}$

Paso 2.3

Escribe $\cot (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (θ)} \sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{\cos (θ)}$ y $\sin (θ)$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Para escribir $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Paso 3.2.2

Para escribir $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Paso 3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos (θ) \sin (θ)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}}$

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ) (\sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.5

Combina $\sin (θ)$ y $\frac{\sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.7

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{1}$

Paso 5

Divide ${\sin (θ)}^{2}$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sec (θ) \sin (θ)}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \sin^{2} (θ)$ es una identidad