Álgebra Ejemplos

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 2.2

Reescribe $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Paso 2.4

Reescribe el polinomio.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y^{2}$ y $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Paso 3

Reescribe $y^{2} + 8 y + 16$ como ${(y + 4)}^{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y^{2} + 4 y$ y $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Paso 5.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Paso 5.5

Resta $y$ de $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Paso 5.6

Factoriza.

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Paso 5.6.1

Factoriza $y^{2} + 3 y - 4$ con el método AC.

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Paso 5.6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 5.6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Paso 5.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Paso 5.7

Combina exponentes.

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Paso 5.7.1

Eleva $y + 4$ a la potencia de $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Paso 5.7.2

Eleva $y + 4$ a la potencia de $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Paso 5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Paso 5.7.4

Suma $1$ y $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$