Álgebra Ejemplos

$3^{2 x} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Paso 1

Reescribe $3^{2 x}$ como exponenciación.

${(3^{x})}^{2} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Paso 2

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} - 5 u = - 6$

Paso 3

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $u^{2} - 5 u + 6$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 3.5

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u - 2) = 0$ verdadera.

$u = 3, 2$

Paso 4

Sustituye $3$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Paso 5

Resuelve $3 = 3^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Paso 5.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{1}$

Paso 5.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 6

Sustituye $2$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$2 = 3^{x}$

Paso 7

Resuelve $2 = 3^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 2$ .

$3^{x} = 2$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

Paso 7.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (2)$

Paso 7.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (2)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (2)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 1, 0.63092975 \dots$