Álgebra Ejemplos

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 - x$ y $x - 2$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - (x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2 + x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.1.6

Divide $(2 + x) \cdot (- 1)$ por $1$ .

$(2 + x) \cdot (- 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot - 1 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$(- 2 - 1 \cdot x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(- 2 - x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 2 - x$ por $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2}$ .

$\frac{(- 2 - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $- 2 - x$ y $x + 2$ .

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Paso 4.4.2.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- 1 (2) - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- 1 (2) - (x)) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (2 + x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.2.6

Divide $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ por $1$ .

$- 1 ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4.4.3

Reescribe $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ como $- ((x + 5) (x - 5))$ .

$- ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5

Expande $(x + 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x (x - 5) + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Paso 6.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 5$ y $5 x$ .

$- (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.1.2

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$- (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$- (x \cdot x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- (x^{2} + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.2.2

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$- (x^{2} - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} - - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Paso 7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 7.3

Reescribe el polinomio.

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x + 5$ y ${(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Multiplica por $1$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $x + 5$ de ${(x + 5)}^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Paso 8.1.2.2

Cancela el factor común.

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Paso 8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$(- x^{2} + 25) \frac{1}{x + 5}$

Paso 8.2

Multiplica $- x^{2} + 25$ por $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x + 5}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x + 5}$

Paso 9.2

Reordena $- x^{2}$ y $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x + 5}$

Paso 9.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Paso 10

Cancela el factor común de $5 + x$ y $x + 5$ .

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Paso 10.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Paso 10.3

Divide $5 - x$ por $1$ .

$5 - x$