Álgebra Ejemplos

$\frac{{(1 + \frac{i}{2})}^{2}}{(1 + \frac{i}{2}) - 1}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{(\frac{2}{2} + \frac{i}{2})}^{2}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(\frac{2 + i}{2})}^{2}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2 + i}{2}$ .

$\frac{\frac{{(2 + i)}^{2}}{2^{2}}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{{(2 + i)}^{2}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.5

Reescribe ${(2 + i)}^{2}$ como $(2 + i) (2 + i)$ .

$\frac{\frac{(2 + i) (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.6

Expande $(2 + i) (2 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 + i) + i (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 \cdot i + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $i i$ .

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Paso 1.7.1.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1 + 1}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{2}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i - 1}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{3 + 2 i + 2 i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 1.7.3

Suma $2 i$ y $2 i$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{0 + \frac{i}{2}}$

Paso 2.2

Suma $0$ y $\frac{i}{2}$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{\frac{i}{2}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 + 4 i}{4} \cdot \frac{2}{i}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3 + 4 i}{2 (2)} \cdot \frac{2}{i}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 + 4 i}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{i}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 4 i}{2} \cdot \frac{1}{i}$

Paso 5

Multiplica $\frac{3 + 4 i}{2}$ por $\frac{1}{i}$ .

$\frac{3 + 4 i}{2 i}$

Paso 6

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{3 + 4 i}{2 i}$ por el conjugado de $2 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{3 + 4 i}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 7

Multiplica.

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Paso 7.1

Combinar.

$\frac{(3 + 4 i) i}{2 i i}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 i + 4 i i}{2 i i}$

Paso 7.2.2

Multiplica $4 i i$ .

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Paso 7.2.2.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 i + 4 (i^{1} i)}{2 i i}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 i + 4 (i^{1} i^{1})}{2 i i}$

Paso 7.2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 i + 4 i^{1 + 1}}{2 i i}$

Paso 7.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 i + 4 i^{2}}{2 i i}$

Paso 7.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 i + 4 \cdot - 1}{2 i i}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 i - 4}{2 i i}$

Paso 7.2.4

Reordena $3 i$ y $- 4$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i i}$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Agrega paréntesis.

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i i)}$

Paso 7.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i^{1} i)}$

Paso 7.3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i^{1} i^{1})}$

Paso 7.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i^{1 + 1}}$

Paso 7.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i^{2}}$

Paso 7.3.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 \cdot - 1}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{- 2}$

Paso 9

Divide la fracción $\frac{- 4 + 3 i}{- 2}$ en dos fracciones.

$\frac{- 4}{- 2} + \frac{3 i}{- 2}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$2 + \frac{3 i}{- 2}$

Paso 10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 - \frac{3 i}{2}$