Álgebra Ejemplos

$2^{x} = \frac{4^{x^{3}}}{8^{x^{2}}}$

Paso 1

Mueve $8^{x^{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x} = 4^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Paso 2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2^{x} = {(2^{2})}^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Paso 3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Paso 4

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot {(2^{3})}^{- x^{2}}$

Paso 5

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{- x^{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{3 (- x^{2})}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{- 3 x^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{x} = 2^{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 7

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{3} - 3 x^{2} = x$

Paso 8.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - x = 0$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $2 x^{3} - 3 x^{2} - x$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 3 x^{2} - x = 0$

Paso 8.3.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) - x = 0$

Paso 8.3.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Paso 8.3.4

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2}) + x (- 3 x)$ .

$x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Paso 8.3.5

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1$ .

$x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Paso 8.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 8.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 8.6

Establece $2 x^{2} - 3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.6.1

Establece $2 x^{2} - 3 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 8.6.2

Resuelve $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.6.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 3$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.6.2.3

Simplifica.

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Paso 8.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 8.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.6.2.3.1.3

Suma $9$ y $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Paso 8.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Paso 8.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forma decimal:

$x = 0, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$