Álgebra Ejemplos

$\sqrt[5]{x^{4}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 x^{\frac{2}{5}} = 4$

Paso 2

Obtén un factor común $x^{\frac{2}{5}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{2} - 3 x^{\frac{2}{5}} - 4$

Paso 3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(u)}^{2} - 3 u - 4 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Paso 4.2

Factoriza $u^{2} - 3 u - 4$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 4.4

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.4.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 4.5

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.5.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 4) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 4, - 1$

Paso 5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 4, - 1$

Paso 6

Resuelve para $x^{\frac{2}{5}} = 4$ en $x$ .

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Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $\pm 4^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm 2^{5}$

Paso 6.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$x = \pm 32$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 32$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 32$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 32, - 32$

Paso 7

Resuelve para $x^{\frac{2}{5}} = - 1$ en $x$ .

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Paso 7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $\pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$x = \pm \sqrt{{(- 1)}^{5}}$

Paso 7.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 7.2.2.1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = 32, - 32, i, - i$