Álgebra Ejemplos

${(\frac{5}{6})}^{4 x} = {(\frac{36}{25})}^{9 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{5}{6})}^{4 x}) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{5}{6})}^{4 x})$ ; para ello, mueve $4 x$ fuera del logaritmo.

$4 x \ln (\frac{5}{6}) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{5}{6})$ como $\ln (5) - \ln (6)$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 4

Reescribe $\ln (6)$ como $\ln (2 (3))$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2 (3))) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 5

Reescribe $\ln (2 (3))$ como $\ln (2) + \ln (3)$ .

$4 x (\ln (5) - (\ln (2) + \ln (3))) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Paso 7

Expande $\ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$ ; para ello, mueve $9 - x$ fuera del logaritmo.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) \ln (\frac{36}{25})$

Paso 8

Reescribe $\ln (\frac{36}{25})$ como $\ln (36) - \ln (25)$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - \ln (25))$

Paso 9

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - \ln (5^{2}))$

Paso 10

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - (2 \ln (5)))$

Paso 11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 12.1

Simplifica $4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 12.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \ln (5) + 4 x (- \ln (2)) + 4 x (- \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.4

Simplifica.

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Paso 12.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x \ln (5) + 4 \cdot - 1 x \ln (2) + 4 x (- \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x \ln (5) + 4 \cdot - 1 x \ln (2) + 4 \cdot - 1 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) + 4 \cdot - 1 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.2

Simplifica $(9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$ .

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Paso 12.2.1

Expande $(9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 (\ln (36) - 2 \ln (5)) - x (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5)) - x (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Paso 12.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5)) - x \ln (36) - x (- 2 \ln (5))$

Paso 12.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) - x (- 2 \ln (5))$

Paso 12.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) - 1 \cdot - 2 x \ln (5)$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) + 2 x \ln (5)$

Paso 12.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 12.3.1

Suma $x \ln (36)$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) + 2 x \ln (5)$

Paso 12.3.2

Resta $2 x \ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) - 2 x \ln (5) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.3.3

Resta $2 x \ln (5)$ de $4 x \ln (5)$ .

$2 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4

Factoriza $x$ de $2 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36)$ .

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Paso 12.4.1

Factoriza $x$ de $2 x \ln (5)$ .

$x (2 \ln (5)) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.2

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.3

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.4

Factoriza $x$ de $x \ln (36)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.5

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.6

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.4.7

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3)) + x (\ln (36))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Paso 12.5

Divide cada término en $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ por $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ y simplifica.

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Paso 12.5.1

Divide cada término en $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ por $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ .

$\frac{x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} = \frac{9 \ln (36)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} + \frac{- 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 12.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.5.2.1

Cancela el factor común de $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ .

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Paso 12.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 12.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{9 \ln (36)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} + \frac{- 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 12.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{9 \ln (36) - 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 12.5.3.2

Factoriza $9$ de $9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ .

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Paso 12.5.3.2.1

Factoriza $9$ de $9 \ln (36)$ .

$x = \frac{9 \ln (36) - 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 12.5.3.2.2

Factoriza $9$ de $- 18 \ln (5)$ .

$x = \frac{9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 12.5.3.2.3

Factoriza $9$ de $9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5))$ .

$x = \frac{9 (\ln (36) - 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{9 (\ln (36) - 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Forma decimal:

$x = - 9.000000000000 \dots$