Álgebra Ejemplos

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ $x - y = 9$

Paso 1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9 + y$

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $9 + y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ por $9 + y$ .

$7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(9 + y)}^{2}$ como $(9 + y) (9 + y)$ .

$7 ((9 + y) (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(9 + y) (9 + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (9 (9 + y) + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $9$ por $9$ .

$7 (81 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 \cdot y + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $y$ por $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Suma $9 y$ y $9 y$ .

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \cdot 81 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.5.1

Multiplica $7$ por $81$ .

$567 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.1.5.2

Multiplica $18$ por $7$ .

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Resta $24 y$ de $126 y$ .

$567 + 7 y^{2} + 3 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $7 y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$ .

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Paso 3.1

Resta $139$ de ambos lados de la ecuación.

$567 + 10 y^{2} + 102 y - 139 = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.2

Resta $139$ de $567$ .

$10 y^{2} + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $10 y^{2} + 102 y + 428$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $10 y^{2}$ .

$2 (5 y^{2}) + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.3.2

Factoriza $2$ de $102 y$ .

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.3.3

Factoriza $2$ de $428$ .

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.3.4

Factoriza $2$ de $2 (5 y^{2}) + 2 (51 y)$ .

$2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.3.5

Factoriza $2$ de $2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214)$ .

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $5 y^{2} + 51 y + 214$ por $1$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 9 + y$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 51$ y $c = 214$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 51 \pm \sqrt{51^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 214)}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $51$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.3

Resta $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.4

Reescribe $- 1679$ como $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1679)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $51$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Paso 3.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.3

Resta $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.4

Reescribe $- 1679$ como $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1679)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.4

Reescribe $- 51$ como $- 1 (51)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (- i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (51) - (- i \sqrt{1679})$ .

$y = \frac{- 1 (51 - i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1.1

Eleva $51$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Paso 3.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.3

Resta $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.4

Reescribe $- 1679$ como $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1679)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.4

Reescribe $- 51$ como $- 1 (51)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (51) - (i \sqrt{1679})$ .

$y = \frac{- 1 (51 + i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.9.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 3.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 9 + y$ por $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 4.2

Simplifica $x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $9$ y $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 4.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 9 + y$ por $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 5.2

Simplifica $x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 5.2.2.1.2

Combina $9$ y $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 5.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}, y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}, y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Paso 7