Álgebra Ejemplos

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = x + \sqrt{x}$ como una ecuación.

$y = x + \sqrt{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y + \sqrt{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Paso 3.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x - y$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - y)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - y)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Paso 3.4.3.1.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.3.1.4.1

Mueve $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Paso 3.4.3.1.3.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $y x$ de $- x y$ .

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Paso 3.4.3.1.3.2.1

Mueve $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Paso 3.4.3.1.3.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Paso 3.5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Paso 3.5.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ y $c = x^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5

Simplifica.

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Paso 3.5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.4

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 2 x - 1$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6

Simplifica.

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Paso 3.5.5.1.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6.3

Resta $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.1.6.6

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 3.5.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.4

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 2 x - 1$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6

Simplifica.

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Paso 3.5.6.1.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.3

Resta $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.1.6.6

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 3.5.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.4

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 2 x - 1$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6

Simplifica.

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Paso 3.5.7.1.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.3

Resta $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.1.6.6

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 3.5.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 3.5.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = x + \sqrt{x}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1.1

Divide cada término de $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Divide $- 4 x - 1$ por $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Paso 5.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 4 x \leq 1$

Paso 5.3.2.3

Divide cada término en $- 4 x \leq 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide cada término de $- 4 x \leq 1$ por $- 4$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Paso 5.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Paso 5.3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Paso 5.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ no es igual al rango de $f (x) = x + \sqrt{x}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ no es una inversa de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

No hay una inversa

Paso 6