Álgebra Ejemplos

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \div \frac{3 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{3 x + 3 y}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 x + 3 y}$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 y$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 y}$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 (y)}$

Paso 3.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (y)$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + y$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

${(x - y)}^{2} \frac{x - y}{3 (x + y)}$

Paso 5

Combina ${(x - y)}^{2}$ y $\frac{x - y}{3 (x + y)}$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} (x - y)}{3 (x + y)}$

Paso 6

Multiplica ${(x - y)}^{2}$ por $x - y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Multiplica ${(x - y)}^{2}$ por $x - y$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} {(x - y)}^{1}}{3 (x + y)}$

Paso 6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - y)}^{2 + 1}}{3 (x + y)}$

Paso 6.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 7

Usa el teorema del binomio.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} (- y) + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.3

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot 1 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.7

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 8.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 9

Divide la fracción $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 10

Divide la fracción $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 11

Divide la fracción $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 12

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 12.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 12.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 14

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} - \frac{y^{3}}{3 (x + y)}$