Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{3})}^{x} < {(\frac{1}{5})}^{x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{x}) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{1}{3})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{1}{3}) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{3})$ como $\ln (1) - \ln (3)$ .

$x (\ln (1) - \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Paso 4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x (0 - \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Paso 5

Resta $\ln (3)$ de $0$ .

$x (- \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Paso 6

Expande $\ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x (- \ln (3)) < x \ln (\frac{1}{5})$

Paso 7

Reescribe $\ln (\frac{1}{5})$ como $\ln (1) - \ln (5)$ .

$x (- \ln (3)) < x (\ln (1) - \ln (5))$

Paso 8

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x (- \ln (3)) < x (0 - \ln (5))$

Paso 9

Resta $\ln (5)$ de $0$ .

$x (- \ln (3)) < x (- \ln (5))$

Paso 10

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \ln (3) < x (- \ln (5))$

Paso 10.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \ln (3) < - x \ln (5)$

Paso 10.3

Suma $x \ln (5)$ a ambos lados de la desigualdad.

$- x \ln (3) + x \ln (5) < 0$

Paso 10.4

Factoriza $x$ de $- x \ln (3) + x \ln (5)$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (5) < 0$

Paso 10.4.2

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) < 0$

Paso 10.4.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (5)) < 0$

Paso 10.5

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$

Paso 10.6

Divide cada término en $x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 10.6.1

Divide cada término en $x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 10.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.6.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (3) + \ln (5)$ .

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Paso 10.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 10.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 10.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.6.3.1

Divide $0$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$x < 0$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0)$

Paso 12