Álgebra Ejemplos

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \div \frac{- x - 10}{x^{2} - 8 x + 16}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 17 x + 70$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $70$ y cuya suma es $17$ .

$7, 10$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 3 x - 28$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 28$ y cuya suma es $3$ .

$- 4, 7$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 5

Multiplica $- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4}$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{x + 10}{x - 4}$ por $\frac{4}{x - 4}$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{(x - 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 5.2

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 5.3

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 6

Mueve $4$ a la izquierda de $x + 10$ .

$- \frac{4 \cdot (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Paso 7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{- x - 10}$

Paso 7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 7.3

Reescribe el polinomio.

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{- x - 10}$

Paso 7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Paso 8.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4 (x + 10) \frac{1}{- x - 10}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{- x - 10}$ y $- 4$ .

$\frac{- 4}{- x - 10} (x + 10)$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{- x - 10} (x + 10)$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4}{- x - 10} x - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Paso 8.5

Combina $x$ y $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Paso 9

Multiplica $- \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$ .

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Paso 9.1

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - 10 \frac{4}{- x - 10}$

Paso 9.2

Combina $- 10$ y $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 10 \cdot 4}{- x - 10}$

Paso 9.3

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 40}{- x - 10}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x \cdot 4 - 40}{- x - 10}$

Paso 11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 40}{- x - 10}$

Paso 12

Factoriza $4$ de $- 4 x - 40$ .

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Paso 12.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 40}{- x - 10}$

Paso 12.2

Factoriza $4$ de $- 40$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 10)}{- x - 10}$

Paso 12.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (- 10)$ .

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Paso 13

Cancela el factor común de $- x - 10$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Paso 13.2

Divide $4$ por $1$ .

$4$