Álgebra Ejemplos

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Paso 1

Reescribe $\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ como una diferencia de cuadrados.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sec (x)$ y $b = \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

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Paso 3.1.1

Expande $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.2.1

Combina los términos opuestos en $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $\sec (x) (- \tan (x))$ y $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.1.2

Suma $- \sec (x) \tan (x)$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.1.3

Suma $\sec (x) \sec (x)$ y $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.1.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 3.1.2.2.3.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.3.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Paso 3.1.2.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Paso 3.1.2.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Paso 3.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$1 = 1$

Paso 4

Como $1 = 1$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero