Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \div \frac{x - 10}{4 x^{3} - 64 x}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 2

Factoriza $x$ de $3 x - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot 3 - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 + x (- x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 3 + x (- x)$ .

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (3 - x)}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{x (3 - x)}{x - 4}$ por $\frac{1}{(x - 3) (x + 4)}$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3 - x$ y $x - 3$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- 1 (- 3) - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- 1 (- 3) - (x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$\frac{x (- 1 (- 3 + x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3.4

Reordena los términos.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot (- 1)}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 64 x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) - 64 x}{x - 10}$

Paso 6.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 64 x$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)}{x - 10}$

Paso 6.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 16)}{x - 10}$

Paso 6.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 4^{2})}{x - 10}$

Paso 6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $(x + 4) (x - 4)$ .

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Paso 7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)}$ al numerador.

$\frac{- x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Paso 7.1.2

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Paso 7.1.3

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $4 x (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) \cdot 1} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Paso 7.1.5

Reescribe la expresión.

$- x \frac{4 x}{x - 10}$

Paso 7.2

Combina $\frac{4 x}{x - 10}$ y $x$ .

$- \frac{4 x \cdot x}{x - 10}$

Paso 8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x)}{x - 10}$

Paso 9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x^{1})}{x - 10}$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x^{1 + 1}}{x - 10}$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{x - 10}$