Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{3 x^{3} - 48 x} \div \frac{1 - x^{2}}{- x - 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{3 x^{3} - 48 x} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{3 x^{3} - 48 x} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x^{3} - 48 x} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} - 48 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x^{2}) - 48 x} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $3 x$ de $- 48 x$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 16)} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 4.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 16)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x^{2} - 16)} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x^{2} - 4^{2})} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (x - 4)} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x - 4$ de $3 x (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 4) (3 x (x + 4))} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 4) (3 x (x + 4))} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{2 - x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{x - 2}{2 - x}$ por $\frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 1) (x + 2))}{(2 - x) (3 x (x + 4))} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x - 2$ y $2 - x$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 2) ((x - 1) (x + 2))}{(2 - x) (3 x (x + 4))} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (2)) ((x - 1) (x + 2))}{(2 - x) (3 x (x + 4))} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- x + 2) ((x - 1) (x + 2))}{(2 - x) (3 x (x + 4))} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- x + 2) ((x - 1) (x + 2))}{(- x + 2) \cdot 3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x + 2) ((x - 1) (x + 2))}{(- x + 2) \cdot 3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 ((x - 1) (x + 2))}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{1 - x^{2}}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{1^{2} - x^{2}}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- x - 1}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $- x - 1$ y $1 + x$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- (x) - 1}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- (x) - 1 (1)}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- (x + 1)}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- 1 (x + 1)}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 7.1.5

Reordena los términos.

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- 1 (x + 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Paso 7.1.6

Cancela el factor común.

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- 1 (x + 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Paso 7.1.7

Reescribe la expresión.

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{- 1}{1 - x}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} (- \frac{1}{1 - x})$

Paso 8

Multiplica $- \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} (- \frac{1}{1 - x})$ .

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \frac{1}{1 - x}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)}$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4)}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (1 - x)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x - 1$ y $1 - x$ .

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (1 - x)}$

Paso 9.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x + 2)}{3 x (x + 4) (1 - x)}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x + 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (1 - x)}$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (- x + 1)}$

Paso 9.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x + 2)}{3 x (x + 4) (- x + 1)}$

Paso 9.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 2)}{3 x (x + 4)}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 2}{3 x (x + 4)}$