Álgebra Ejemplos

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} + \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \cos (θ)) \sin (θ)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{(1 + \cos (θ)) \sin (θ)} + \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{(1 + \cos (θ)) \sin (θ)} + \frac{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(1 + \cos (θ)) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))} + \frac{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ) + (1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ) + (1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + (1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1} + (1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + (1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.2

Expande $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 (1 + \cos (θ)) - \cos (θ) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (θ) - \cos (θ) (1 + \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (θ) - \cos (θ) \cdot 1 - \cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + 1 \cos (θ) - \cos (θ) \cdot 1 - \cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) \cdot 1 - \cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) - \cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.4.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + \cos (θ) - \cos (θ) - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.2

Resta $\cos (θ)$ de $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 + 0 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) + 1 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 5.5

Suma $\sin^{2} (θ)$ y $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 6

Cancela el factor común de $\sin^{2} (θ)$ y $\sin (θ)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) (2 \sin (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (θ) (2 \sin (θ))}{\sin (θ) (1 + \cos (θ))}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sin (θ)}{1 + \cos (θ)}$