Álgebra Ejemplos

${(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

${(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.1.6.5

Evalúa el exponente.

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 5.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 5.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 5.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{8} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{8} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 7

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{3}$

Paso 8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{3}$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{3}$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{3}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{3}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{3}$

Paso 8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3}$

Paso 8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3}$

Paso 8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Paso 8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Paso 8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{3}$

Paso 8.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}$

Paso 9.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}$

Paso 10

Combinar.

$\frac{\sqrt{2} (2^{3} {\sqrt{3}}^{3})}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 {\sqrt{3}}^{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{3^{3}}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{27}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 11.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{9 (3)}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.6

Combina exponentes.

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Paso 11.6.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 24 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.6.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{24 \sqrt{2 \cdot 3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 11.6.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{4 \cdot 3^{3}}$

Paso 12

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 12.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{4 \cdot 27}$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{108}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $24$ y $108$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $12$ de $24 \sqrt{6}$ .

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{108}$

Paso 12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $12$ de $108$ .

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{12 (9)}$

Paso 12.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{12 \cdot 9}$

Paso 12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Forma decimal:

$0.54433105 \dots$