Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$ .

$\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$ como ${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- \frac{y}{2})}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$- \frac{y}{2} = x^{3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})}^{3}$

Paso 5.2.3

Reescribe $- \frac{x}{2}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{2}$ .

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Paso 5.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Paso 5.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Paso 5.2.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}})}^{3}$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))}^{3}$

Paso 5.2.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Paso 5.2.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Paso 5.2.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3}$

Paso 5.2.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3}$

Paso 5.2.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 5.2.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

Paso 5.2.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

Paso 5.2.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Paso 5.2.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Paso 5.2.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.8.5.5

Evalúa el exponente.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.9.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.11

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.11.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3})$

Paso 5.2.11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}))$

Paso 5.2.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.13.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}$ como $x \cdot 4$ .

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Paso 5.2.13.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x \cdot 4}$ como ${(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{({(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Paso 5.2.13.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Paso 5.2.14

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.14.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Paso 5.2.14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.14.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x}{8}$ al numerador.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Paso 5.2.14.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Paso 5.2.14.2.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Paso 5.2.14.2.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Paso 5.2.14.2.5

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Paso 5.2.14.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.2.14.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Paso 5.2.14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.14.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Paso 5.2.14.3.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Paso 5.2.14.3.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 (- x)$

Paso 5.2.15

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 5.2.15.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 1 x$

Paso 5.2.15.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- 2 x^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- 2 x^{3}}{2}}$

Paso 5.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{- 2 x^{3}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2}}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 (1)}}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 \cdot 1}}$

Paso 5.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3}}{1}}$

Paso 5.3.3.2

Divide $- x^{3}$ por $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Paso 5.3.4

Combina exponentes.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza el negativo.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (- 2 x^{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$