Álgebra Ejemplos

$\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{3} - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.2

Factoriza $2 m^{2}$ de $2 m^{3} - 14 m^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2 m^{2}$ de $2 m^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.2.2

Factoriza $2 m^{2}$ de $- 14 m^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.2.3

Factoriza $2 m^{2}$ de $2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{m^{2} (m - 7)}{m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $m^{2}$ y $m$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $m$ de $m^{2} (m - 7)$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $m$ de $m^{1}$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{m (m - 7)}{1}) = \log_{4} (8)$

Paso 1.4.2.5

Divide $m (m - 7)$ por $1$ .

$\log_{4} (m (m - 7)) = \log_{4} (8)$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Paso 1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$\log_{4} (m^{2} + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Paso 1.6.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \log_{4} (8)$

Paso 2

El logaritmo en base $4$ de $8$ es $\frac{3}{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{4} (8) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{4} (8) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 8$

Paso 2.3

Crea expresiones en la ecuación que tengan bases iguales.

${(2^{2})}^{x} = 2^{3}$

Paso 2.4

Reescribe ${(2^{2})}^{x}$ como $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{3}$

Paso 2.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x = 3$

Paso 2.6

Resuelve $x$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.7

La variable $x$ es igual a $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$

Paso 3

Reescribe $\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{3}{2}} = m^{2} - 7 m$

Paso 4

Resuelve $m$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$ .

$m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica $4^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$m^{2} - 7 m = {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$m^{2} - 7 m = 2^{3}$

Paso 4.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$m^{2} - 7 m = 8$

Paso 4.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$m^{2} - 7 m - 8 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $m^{2} - 7 m - 8$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 8, 1$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(m - 8) (m + 1) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$m - 8 = 0$

$m + 1 = 0$

Paso 4.6

Establece $m - 8$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

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Paso 4.6.1

Establece $m - 8$ igual a $0$ .

$m - 8 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$m = 8$

Paso 4.7

Establece $m + 1$ igual a $0$ y resuelve $m$ .

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Paso 4.7.1

Establece $m + 1$ igual a $0$ .

$m + 1 = 0$

Paso 4.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$m = - 1$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(m - 8) (m + 1) = 0$ verdadera.

$m = 8, - 1$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$ sea verdadera.

$m = 8$