Álgebra Ejemplos

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$ , $0 \leq θ < 2 π$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Paso 7.4

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 7.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 7.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 7.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 8.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.6.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 8.6.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 8.6.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Paso 8.7

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (0)}{2}$

Paso 11.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $π (0)$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Paso 11.1.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Paso 11.1.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Paso 11.1.2.1.1.2.4

Divide $π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot (0)$

Paso 11.1.2.1.2

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Paso 11.1.2.2

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 11.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 11.2

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (1)}{2}$

Paso 11.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Paso 11.2.2.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Paso 11.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Paso 11.2.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Paso 11.2.2.5.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 11.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Paso 11.3

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (2)}{2}$

Paso 11.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Paso 11.3.2.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Paso 11.3.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Paso 11.3.2.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Paso 11.3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Paso 11.3.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Paso 11.3.2.4.2

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Paso 11.3.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 11.4

Inserta $3$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Inserta $3$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (3)}{2}$

Paso 11.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}$

Paso 11.4.2.2

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.3.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 11.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{4}$

Paso 11.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 3 π \cdot 2}{4}$

Paso 11.4.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π + 6 π}{4}$

Paso 11.4.2.5.2

Suma $π$ y $6 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 11.4.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{7 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$