Álgebra Ejemplos

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\log_{3} (x) - 1$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

No hay asíntotas horizontales porque $Q (x)$ es $1$ .

No hay asíntotas horizontales

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

El logaritmo en base $3$ de $\frac{1}{3}$ es $- 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{1}{3}$

Paso 2.2.1.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{- 1}$

Paso 2.2.1.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = - 1$

Paso 2.2.1.5

La variable $x$ es igual a $- 1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 2.2.2

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 2.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$y = - 1$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Divide $3$ por $3$ .

$f (3) = \log_{3} (1)$

Paso 3.2.2

El logaritmo en base $3$ de $1$ es $0$ .

$f (3) = 0$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 9$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

El logaritmo en base $3$ de $\frac{9}{3}$ es $1$ .

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Paso 4.2.1.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

Paso 4.2.1.2

Reescribe $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{9}{3}$

Paso 4.2.1.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{1}$

Paso 4.2.1.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 4.2.1.5

La variable $x$ es igual a $1$ .

$f (9) = 1$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4.3

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

Paso 6