Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (2 w^{2}) - \log_{2} (w + 3) = 3$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 w^{2}}{w + 3}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 w^{2} = 2^{3} (w + 3)$

Paso 4

Simplifica $2^{3} (w + 3)$ .

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 w^{2} = 8 (w + 3)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 w^{2} = 8 w + 8 \cdot 3$

Paso 4.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$2 w^{2} = 8 w + 24$

Paso 5

Resta $8 w$ de ambos lados de la ecuación.

$2 w^{2} - 8 w = 24$

Paso 6

Factoriza $2 w$ de $2 w^{2} - 8 w$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 w$ de $2 w^{2}$ .

$2 w (w) - 8 w = 24$

Paso 6.2

Factoriza $2 w$ de $- 8 w$ .

$2 w (w) + 2 w (- 4) = 24$

Paso 6.3

Factoriza $2 w$ de $2 w (w) + 2 w (- 4)$ .

$2 w (w - 4) = 24$

Paso 7

Divide cada término en $2 w (w - 4) = 24$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 w (w - 4) = 24$ por $2$ .

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $w (w - 4)$ por $1$ .

$w (w - 4) = \frac{24}{2}$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$w \cdot w + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $w$ por $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Paso 7.2.3.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $w$ .

$w^{2} - 4 w = \frac{24}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $24$ por $2$ .

$w^{2} - 4 w = 12$

Paso 8

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$w^{2} - 4 w - 12 = 0$

Paso 9

Factoriza $w^{2} - 4 w - 12$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(w - 6) (w + 2) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w - 6 = 0$

$w + 2 = 0$

Paso 11

Establece $w - 6$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 11.1

Establece $w - 6$ igual a $0$ .

$w - 6 = 0$

Paso 11.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 6$

Paso 12

Establece $w + 2$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 12.1

Establece $w + 2$ igual a $0$ .

$w + 2 = 0$

Paso 12.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$w = - 2$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(w - 6) (w + 2) = 0$ verdadera.

$w = 6, - 2$