Álgebra Ejemplos

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1

Simplifica $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.3

Expande $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} + x (- 3 x) + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 3 x \cdot x + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{3} - 3 (x \cdot x) + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x \cdot 9 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.4

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 9 \cdot x + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 9 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.1.6

Multiplica $3$ por $9$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3 x^{2} - 9 x + 27 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3 x^{2} - 9 x + 27$ .

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Paso 1.4.2.1

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x + 0 - 9 x + 27 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.2.2

Suma $x^{3} + 9 x$ y $0$ .

$x^{3} + 9 x - 9 x + 27 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.2.3

Resta $9 x$ de $9 x$ .

$x^{3} + 0 + 27 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 1.4.2.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$x^{3} + 27 > (x^{2} - 6) (x - 1)$

Paso 2

Simplifica $(x^{2} - 6) (x - 1)$ .

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Paso 2.1

Expande $(x^{2} - 6) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} + 27 > x^{2} (x - 1) - 6 (x - 1)$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} + 27 > x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} + 27 > x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} + 27 > x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} + 27 > x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} + 27 > x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{3} + 27 > x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{3} + 27 > x^{3} - x^{2} - 6 x - 6 \cdot - 1$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$x^{3} + 27 > x^{3} - x^{2} - 6 x + 6$

Paso 3

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x^{3} - x^{2} - 6 x + 6 < x^{3} + 27$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 4.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} - x^{2} - 6 x + 6 - x^{3} < 27$

Paso 4.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} - x^{2} - 6 x + 6 - x^{3}$ .

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Paso 4.2.1

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$- x^{2} - 6 x + 6 + 0 < 27$

Paso 4.2.2

Suma $- x^{2} - 6 x + 6$ y $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 6 < 27$

Paso 5

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 5.1

Resta $27$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} - 6 x + 6 - 27 < 0$

Paso 5.2

Resta $27$ de $6$ .

$- x^{2} - 6 x - 21 < 0$

Paso 6

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} - 6 x - 21 = 0$

Paso 7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 6$ y $c = - 21$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 21)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot - 21}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 21$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot - 21}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 21$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 84}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.3

Resta $84$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 9.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 i \sqrt{3}}{- 1}$

Paso 9.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3 \pm 2 i \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 i \sqrt{3})$

Paso 9.5

Reescribe $- 1 \cdot (3 \pm 2 i \sqrt{3})$ como $- (3 \pm 2 i \sqrt{3})$ .

$x = - (3 \pm 2 i \sqrt{3})$

Paso 10

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 10.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$- x^{2}$

Paso 10.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$- 1$

Paso 11

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es negativo, la parábola se abre hacia abajo y $- x^{2} - 6 x + 6$ siempre es menor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$