Álgebra Ejemplos

$\frac{p^{2} - 14 p + 40}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $p^{2} - 14 p + 40$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 10, - 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 p^{2} - 18 p + 24$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 18 p$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) + 3 (- 6 p) + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $3$ de $24$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} + 3 (- 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 p^{2} + 3 (- 6 p)$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p + 8)}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.2.2

Factoriza $p^{2} - 6 p + 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 1.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 ((p - 4) (p - 2))}{2 p^{2} - 4 p}$

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p^{2} - 4 p}$

Paso 1.3

Factoriza $2 p$ de $2 p^{2} - 4 p$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2 p$ de $2 p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) - 4 p}$

Paso 1.3.2

Factoriza $2 p$ de $- 4 p$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) + 2 p (- 2)}$

Paso 1.3.3

Factoriza $2 p$ de $2 p (p) + 2 p (- 2)$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $p - 2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p} \cdot \frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16 p^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ por $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{2 p (8 p^{2})}$

Paso 3.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p \cdot p^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $p$ por $p^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p)}$

Paso 3.3.2

Multiplica $p^{2}$ por $p$ .

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Paso 3.3.2.1

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p^{1})}$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{2 + 1}}$

Paso 3.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $p - 4$ de $(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $p - 4$ de $(p - 10) (p - 4)$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Paso 5.1.2

Factoriza $p - 4$ de $3 (p - 4) (8 p^{2})$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Paso 5.1.3

Factoriza $p - 4$ de $(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10 + 3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Paso 5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1

Reordena los términos.

$\frac{(p - 4) (3 \cdot 8 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 24 \cdot - 10 = - 240$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + 1 p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe $1$ como $- 15$ más $16$

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + (- 15 + 16) p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} - 15 p + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(p - 4) ((24 p^{2} - 15 p) + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(p - 4) (3 p (8 p - 5) + 2 (8 p - 5))}{16 p^{3}}$

Paso 5.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 p - 5$ .

$\frac{(p - 4) ((8 p - 5) (3 p + 2))}{16 p^{3}}$

$\frac{(p - 4) (8 p - 5) (3 p + 2)}{16 p^{3}}$