Álgebra Ejemplos

$\log_{6} (\sqrt[3]{\frac{1}{6}})$

Paso 1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{6}})$

Paso 2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[3]{6}})$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt[3]{6}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Paso 4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Paso 4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

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Paso 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Paso 4.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Paso 5

Reescribe $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$ como ${\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1}$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1})$

Paso 6

Reescribe $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1})$ como $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) + \log_{6} (6^{- 1})$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) + \log_{6} (6^{- 1})$

Paso 7

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - \log_{6} (6)$

Paso 8

El logaritmo en base $6$ de $6$ es $1$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - 1$

Paso 10

Expande $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \log_{6} (\sqrt[3]{6}) - 1$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Reescribe $\log_{6} (\sqrt[3]{6})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 11.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 11.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$2 \frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)} - 1$

Paso 11.2

Multiplica $2 \frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)}$ .

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Paso 11.2.1

Combina $2$ y $\frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)}$ .

$\frac{2 \log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)} - 1$

Paso 11.2.2

Simplifica $2 \log (\sqrt[3]{6})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log ({\sqrt[3]{6}}^{2})}{\log (6)} - 1$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{6^{2}})}{\log (6)} - 1$

Paso 11.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{36})}{\log (6)} - 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\sqrt[3]{36})}{\log (6)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$