Álgebra Ejemplos

$2 (\frac{2 x + 3}{x - 3}) - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3} = 5$

Paso 1

Simplifica $2 (\frac{2 x + 3}{x - 3}) - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3}$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $2$ y $\frac{2 x + 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3} = 5$

Paso 1.1.2

Combina $- 25$ y $\frac{x - 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} + \frac{- 25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Paso 1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Paso 1.3

Para escribir $- \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 5$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (2 x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3}$ por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(x - 3) (2 x + 3)} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 5$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{25 (x - 3)}{2 x + 3}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(x - 3) (2 x + 3)} - \frac{25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} - \frac{25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(4 x + 2 \cdot 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{(4 x + 6) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.4

Expande $(4 x + 6) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x + 3) + 6 (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 x + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.1.6

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 x + 18 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.5.2

Suma $12 x$ y $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 + (- 25 x - 25 \cdot - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.7

Multiplica $- 25$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 + (- 25 x + 75) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.8

Expande $(- 25 x + 75) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x (x - 3) + 75 (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x \cdot x - 25 x \cdot - 3 + 75 (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x \cdot x - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.9.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 (x \cdot x) - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.9.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.9.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 25$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 75 x + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.9.1.3

Multiplica $75$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 75 x + 75 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.9.2

Suma $75 x$ y $75 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 150 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.10

Resta $25 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 24 x + 18 + 150 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.11

Suma $24 x$ y $150 x$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 174 x + 18 - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.6.12

Resta $225$ de $18$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 174 x - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.7.1

Factoriza $- 1$ de $- 17 x^{2}$ .

$\frac{- (17 x^{2}) + 174 x - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.2

Factoriza $- 1$ de $174 x$ .

$\frac{- (17 x^{2}) - (- 174 x) - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (17 x^{2}) - (- 174 x)$ .

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x) - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.4

Reescribe $- 207$ como $- 1 (207)$ .

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x) - 1 (207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.5

Factoriza $- 1$ de $- (17 x^{2} - 174 x) - 1 (207)$ .

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.6.1

Reescribe $- (17 x^{2} - 174 x + 207)$ como $- 1 (17 x^{2} - 174 x + 207)$ .

$\frac{- 1 (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 1.7.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(2 x + 3) (x - 3), 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(2 x + 3) (x - 3)$

Paso 3

Multiplica cada término en $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$ por $(2 x + 3) (x - 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$ por $(2 x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $(2 x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)}$ al numerador.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- (17 x^{2} - 174 x + 207) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (17 x^{2}) - (- 174 x) - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $17$ por $- 1$ .

$- 17 x^{2} - (- 174 x) - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- 174$ por $- 1$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $207$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Expande $(2 x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 3.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 3.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 6 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 6 x + 3 x - 9)$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 6 x$ y $3 x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 3 x - 9)$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2}) + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Paso 3.3.4

Simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} - 15 x + 5 \cdot - 9$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $5$ por $- 9$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} - 15 x - 45$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $10 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 - 10 x^{2} = - 15 x - 45$

Paso 4.1.2

Suma $15 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 - 10 x^{2} + 15 x = - 45$

Paso 4.1.3

Resta $10 x^{2}$ de $- 17 x^{2}$ .

$- 27 x^{2} + 174 x - 207 + 15 x = - 45$

Paso 4.1.4

Suma $174 x$ y $15 x$ .

$- 27 x^{2} + 189 x - 207 = - 45$

Paso 4.2

Suma $45$ a ambos lados de la ecuación.

$- 27 x^{2} + 189 x - 207 + 45 = 0$

Paso 4.3

Suma $- 207$ y $45$ .

$- 27 x^{2} + 189 x - 162 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $- 27$ de $- 27 x^{2} + 189 x - 162$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 27$ de $- 27 x^{2}$ .

$- 27 x^{2} + 189 x - 162 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $- 27$ de $189 x$ .

$- 27 x^{2} - 27 (- 7 x) - 162 = 0$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $- 27$ de $- 162$ .

$- 27 x^{2} - 27 (- 7 x) - 27 \cdot 6 = 0$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $- 27$ de $- 27 (x^{2}) - 27 (- 7 x)$ .

$- 27 (x^{2} - 7 x) - 27 \cdot 6 = 0$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $- 27$ de $- 27 (x^{2} - 7 x) - 27 (6)$ .

$- 27 (x^{2} - 7 x + 6) = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 6$ con el método AC.

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Paso 4.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 6, - 1$

Paso 4.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 27 ((x - 6) (x - 1)) = 0$

Paso 4.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 27 (x - 6) (x - 1) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.7

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 27 (x - 6) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 6, 1$