Álgebra Ejemplos

$16 \sin^{2} (θ) - 12 = 0$ , $0 \leq θ < 2 π$

Paso 1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$16 \sin^{2} (θ) = 12$

Paso 2

Divide cada término en $16 \sin^{2} (θ) = 12$ por $16$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $16 \sin^{2} (θ) = 12$ por $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (θ)}{16} = \frac{12}{16}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sin^{2} (θ)}{16} = \frac{12}{16}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{12}{16}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $12$ y $16$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{4 (3)}{16}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (θ) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 7.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Paso 7.4

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 7.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 7.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 7.4.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Paso 8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 8.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.6.3

Combina fracciones.

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Paso 8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 8.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 8.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 8.7

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las soluciones.

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Paso 10.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Paso 11.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 11.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

Paso 11.1.2

Simplifica.

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Paso 11.1.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Paso 11.1.2.2

Suma $\frac{π}{3}$ y $0$ .

$\frac{π}{3}$

Paso 11.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 11.2

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 11.2.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Paso 11.2.2

Simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Paso 11.2.2.2

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 11.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Paso 11.3

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 11.3.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

Paso 11.3.2

Simplifica.

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Paso 11.3.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Paso 11.3.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.3.2.3

Combina fracciones.

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Paso 11.3.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Paso 11.3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Paso 11.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Paso 11.3.2.4.2

Suma $π$ y $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Paso 11.3.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Paso 11.4

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 11.4.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Paso 11.4.2

Simplifica.

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Paso 11.4.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Paso 11.4.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.4.2.3

Combina fracciones.

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Paso 11.4.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Paso 11.4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Paso 11.4.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Paso 11.4.2.4.2

Suma $2 π$ y $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 11.4.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$